Покори Воробьёвы горы 2025, 11 класс, задача 2
Даны лежащие в одной плоскости две трапеции и с общим основанием и одинаковыми высотами, равными . При этом , расстояние между точками и равно . Продолжения боковых сторон и пересекаются в точке , а сторон и - в точке . Найдите площадь четырехугольника .
Ответ
Ответ: или .
Решение. Во-первых, заметим, что и точки , , и точки , лежат по одну сторону от прямой , так как в противном случае , а по условию .
По обратной теореме Фалеса параллельна .
Возможны две конфигурации.
- Точки , , , расположены последовательно.
Если обозначить расстояние от точки до прямой через , то из подобия треугольников и вытекает:
откуда .
Далее из подобия треугольников и :
откуда .
Тогда площадь трапеции равна .
- Точка расположена между точками и .
Аналогично , откуда .
И из подобия треугольников и :
откуда .
Площадь трапеции равна .