1. Олимпиады
  2. Покори Воро­бьёвы горы!

Заключительный этап

11 класс

Заключительный тур

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 1

В турнире по волейболу участвовало 20 команд. Каждая команда играла со всеми остальными по одному разу, за выигрыш начислялось 3 очка, за проигрыш очки не начислялись (ничьих в волейболе нет). Очки, набранные командами, образуют убывающую арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, зан
Очень сложная
Комбинаторика

Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 2

Даны лежащие в одной плоскости две трапеции ABCD и AEFD с общим основанием AD=6 и одинаковыми высотами, равными 8. При этом BC=EF=2, расстояние между точками C и E равно 1. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке P, а сторон AE и DF - в точке Q. Найдите площадь четырехугольника APQD.
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 3

Решите неравенство 2log42(x+3) · log92(x+8)lelog3(x+3) · log2(x+8)-2.
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 4

Множество A состоит из натуральных чисел n, делящихся на [3√(n)]. Здесь [x] - целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превышающее x. Найдите количество чисел из отрезка [25,2025], принадлежащих множеству A.
Очень сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 5

Найдите все положительные a, при каждом из которых неравенство (x/y) +(y/x) +frac{a√(xy)}{x+y}gefrac a2+2 выполняется при всех положительных x и y.
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 6

Отрезок AB=1 лежит на прямой l и пересекается с отрезком CD=m в точке O, причём CO:OD=k, angle AOC=60circ и ACne BD. Для каких пар чисел m и k отрезок AB можно передвинуть по прямой l так, чтобы в его новом положении выполнялось равенство AC=BD?
Очень сложная
Планиметрия

10 класс

Заключительный тур

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Покори Воробьёвы горы! 2025, 10 класс, задача 1

В турнире по волейболу участвовало 20 команд. Каждая команда играла со всеми остальными по одному разу, за выигрыш начислялось 3 очка, за проигрыш очки не начислялись (ничьих в волейболе нет). Очки, набранные командами, образуют убывающую арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, зан
Очень сложная
Комбинаторика

Покори Воробьёвы горы! 2025, 10 класс, задача 2

Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, 2025 год - замечательный, поскольку 2025 делится на 20+25=45. Сколько ещё замечательных годов в XXI веке (с 2001 по 2100 год включительно)?
Очень сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2025, 10 класс, задача 3

Множество A состоит из натуральных чисел n, делящихся на [3√(n)]. Здесь [x] - целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превышающее x. Найдите количество чисел из отрезка [25,2025], принадлежащих множеству A.
Очень сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2025, 10 класс, задача 4

При каких положительных значениях a, b и c достигается наибольшее значение выражения? abc/(1+a)(a+b)(b+c)(c+16)
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2025, 10 класс, задача 5

Квадрат ABCD со стороной 9 и квадрат DEFG со стороной π имеют общую вершину D, при этом точка E лежит на отрезке CD. Найдите наибольшее и наименьшее возможные значения площади параллелограмма AMNF, если точка C лежит на отрезке MN и делит его в отношении 1:π.
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2025, 10 класс, задача 6

Отрезок AB=1 лежит на прямой l и пересекается с отрезком CD=m в точке O, причём CO:OD=k, angle AOC=60circ и ACne BD. Для каких пар чисел m и k отрезок AB можно передвинуть по прямой l так, чтобы в его новом положении выполнялось равенство AC=BD?
Очень сложная
Планиметрия

9 класс

Заключительный тур

PDF
Задания
PDF
Решения и критерии

Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 1

Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, 2025 год - замечательный, поскольку 2025 делится на 20+25=45. Назовите ближайший следующий замечательный год?
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 2

Дана доска 5 × 5, в каждой из 25 клеточек которой стоит либо 0, либо 1. Никакие 3 единицы не могут стоять в подряд идущих клетках по горизонтали, по вертикали или по диагонали. Какое наибольшее число единиц может быть на доске?
Сложная
Комбинаторика

Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 3

Квадрат ABCD со стороной 9 и квадрат DEFG со стороной π имеют общую вершину D, при этом точка E лежит на отрезке CD. Найдите наибольшее возможное значение площади параллелограмма AMNF, если точка C лежит на отрезке MN и делит его в отношении 1:π.
Сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 4

При каких положительных значениях a и b достигается наибольшее значение следующего выражения? ab/(1+a)(a+b)(b+8)
Сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 5

У канала шириной 20 метров от берега A до середины вода течёт со скоростью 1 м/сек, а после середины до берега Б скорость течения удваивается. На берегу A у воды сидит Гидра. Напротив, на расстоянии 7 метров от берега Б, сидит её подруга Выдра. Они одновременно бросаются навстречу друг другу - Гидра
Сложная
Уравнения

Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 6

Назовем словом размах разность между наибольшим и наименьшим числом в наборе чисел (x1,ldots,xn). Например, размах набора (4,1,7,1,3) равен 6 (разность 7 и 1). Дан набор 2025 чисел (x1,ldots,x2025) с размахом 1. Найдите наибольший возможный размах у набора
Сложная
Алгебра