Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 1
В турнире по волейболу участвовало команд. Каждая команда играла со всеми остальными по одному разу, за выигрыш начислялось очка, за проигрыш очки не начислялись (ничьих в волейболе нет). Очки, набранные командами, образуют убывающую арифметическую прогрессию. Сколько очков набрала команда, занявшая второе место?
Ответ: .
Решение. Решим задачу в общем виде. Пусть участвовало команд, за победу дается очков. Пусть - количество очков, набранных последней командой. Посчитаем число разыгранных очков двумя способами. С одной стороны, это число равно . С другой стороны, так как очки распределились в арифметической прогрессии, то, обозначив ее разность через , получим .
Значит,
Так как , где - натуральное число, то
откуда , то есть .
Значит, для есть две возможности: , . При получается , что не годится по условию. Следовательно, и .
Тогда при , получаем и первая команда наберет очков, а вторая очка.
Другой способ решения. Последняя команда в таблице набрала не менее очков, -я команда - не менее очков, -я команда - не менее очков, , -я команда - не менее очков, -я команда - не менее очков. В то же время, -я команда не могла набрать более очков, так как она сыграла игр. Значит, -я команда набрала очков, -я команда - очка, -я команда - очко, , -я команда - очка, -я команда - очков.