Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 4

Очень сложная
Алгебра
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2022, 11 класс

Последовательность задана формулами

Найдется ли натуральное число такое, что ? Обоснуйте свой ответ.

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: Да.

Решение. Переписав данную в условии формулу в виде , находим, что если , то . В предложенной задаче , поэтому

Так как

Это неравенство при достаточно больших выполняется. Для того, чтобы это утверждать, нужно или доказать, что предел этой последовательности равен , или сделать оценку

откуда следует, что для любого

неравенство выполняется.

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2024, 11 класс, задача 2

Найдите f(2024), если f(x)=|2x-1|-|2x-3|+6 при x∈[0;2] и, кроме того, при всех целых значениях x выполняются неравенства f(x+3)le f(x)+6 и f(x+2)ge f(x)+4.
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2024, 10 класс, задача 3

Найдите f(2024), если f(x)=|2x-1|-|2x-3|+6 при x∈[0;2] и, кроме того, при всех целых значениях x
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2021, 10 класс, задача 2

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение |x|-arcsin x+b · (arccos x+|x|-1)+a=0 при любом значении b имеет хотя бы одно решение.
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2023, 10 класс, задача 2

Из пункта A в пункт B по одной дороге с постоянными скоростями выехали велосипедист и мотоциклист. Один из них выехал в 13{:}00, а другой на час позже, при этом в пункт B они прибыли одновременно, хотя один из них сделал остановку в пути длительностью 2 часа. В котором часу они прибыли в B, если ско
Очень сложная
Алгебра
Уравнения