Покори Воробьевы горы! 2026, 10 класс, задача 2

Очень сложная

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Заключительный этап, 2026, 10 класс

Уравнение имеет три корня: , и . Какие значения может принимать объем параллелепипеда со сторонами , , ?

Ответ: .

Решение. Среди всех параллелепипедов с заданной длиной сторон максимальный объем имеет прямоугольный параллелепипед. При изменении углов между сторонами объем может стать сколь угодно малым, принимая все промежуточные значения.

Объем прямоугольного параллелепипеда равен

По теореме Виета для многочленов корни , и уравнения

удовлетворяют соотношениям , , . Поэтому объем прямоугольного параллелепипеда равен . Значит, объем может принимать значения .

Заметим, что можно было, вместо этого, искать корни уравнения (это и ), но это более сложно и трудоемко.

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2024, 11 класс, задача 5

Кривая, заданная уравнением y=x²+px+q, пересекает ось Ox прямоугольной декартовой системы координат в точках A и B, а ось Oy - в точке C (все три точки различны). Известно, что точка D равноудалена от точек A, B и C, а сумма ее координат равна (-2023). Найдите минимально возможную при дан

Очень сложная

Алгебра

Геометрия

Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 5

Найдите все положительные a, при каждом из которых неравенство (x/y) +(y/x) +frac{a√(xy)}{x+y}gefrac a2+2 выполняется при всех положительных x и y.

Очень сложная

Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 6

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства |x³+2x²+x+a|+|x³-2x²+x-a|2+8x представляет собой на числовой прямой промежуток длиной 1.

Очень сложная

Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2021, 10-11 классы, задача 2

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение |x|-arcsin x+b · (arccos x+|x|-1)+a=0 при любом значении b имеет хотя бы одно решение.

Очень сложная

Алгебра