Найдите число решений уравнения 22sin x+72sin x+1=14sin x+2sin x+7sin x на отрезке [-3,14;315].
Очень сложная
Тригонометрия
Покори Воробьевы горы! 2026, 11 класс, задача 2
Уравнение x3+(23+10√3)x=(10+√3)x2+23√3 имеет три корня: a, b и c. Какие значения может принимать объем параллелепипеда со сторонами a+1, b+1, c+1?
Очень сложная
Алгебра
Покори Воробьевы горы! 2026, 11 класс, задача 3
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, угол A - прямой, AC=AD. На стороне AB выбрана точка M так, что MC пересекает BD в точке N, BM=BN=AD. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если DC=6.
Очень сложная
Планиметрия
Покори Воробьевы горы! 2026, 11 класс, задача 4
Таня задумала две такие цифры a и b, что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел overline{793a} и overline{1b09} при делении на 11 дает в остатке 1. Определите все возможные значения получающегося простого числа.
Очень сложная
Теория чисел
Покори Воробьевы горы! 2026, 11 класс, задача 5
Петя и Вася играют в кубики. За один ход Петя бросает правильный 12-гранник (додекаэдр) с числами 1, 2, ldots, 12 на гранях. За один ход Вася бросает два кубика (гексаэдра) с числами 1, 2, ldots, 6 на гранях и складывает два выпавших на них числа. Побеждает тот игрок, у кого больше очков. Второй ход
Очень сложная
Теория вероятностей
Покори Воробьевы горы! 2026, 11 класс, задача 6
Вершины треугольника лежат на графике многочлена 2026-й степени. Стороны треугольника меньше 1. Докажите, что любая точка на границе или внутри треугольника лежит на некотором отрезке длиной меньше 1, концы которого лежат на графике этого многочлена.
Найдите число решений уравнения 22sin x+72sin x+1=14sin x+2sin x+7sin x на отрезке [-3,14;315].
Очень сложная
Тригонометрия
Покори Воробьевы горы! 2026, 10 класс, задача 2
Уравнение x3+(23+10√3)x=(10+√3)x2+23√3 имеет три корня: a, b и c. Какие значения может принимать объем параллелепипеда со сторонами a+1, b+1, c+1?
Очень сложная
Алгебра
Покори Воробьевы горы! 2026, 10 класс, задача 3
В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, угол A - прямой, AC=AD. На стороне AB выбрана точка M так, что MC пересекает BD в точке N, BM=BN=AD. Найдите площадь четырехугольника ABCD, если DC=6.
Очень сложная
Планиметрия
Покори Воробьевы горы! 2026, 10 класс, задача 4
Таня задумала две такие цифры a и b, что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел overline{793a} и overline{1b09} при делении на 11 дает в остатке 1. Определите все возможные значения получающегося простого числа.
Очень сложная
Теория чисел
Покори Воробьевы горы! 2026, 10 класс, задача 5
На доске написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа a и b и заменяем их на числа 5a-3b и 7a-5b. Вначале были записаны числа 15, 16, 17, ldots, 40. Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа 2001, 2002, 2003, ldots, 2026?
Очень сложная
Теория чисел
Покори Воробьевы горы! 2026, 10 класс, задача 6
Петя и Вася играют в кубики. За один ход Петя бросает правильный 12-гранник (додекаэдр) с числами 1, 2, ldots, 12 на гранях. За один ход Вася бросает два кубика (гексаэдра) с числами 1, 2, ldots, 6 на гранях и складывает два выпавших на них числа. Побеждает тот игрок, у кого больше очков. Второй ход
В 9{:}15 из пункта A вышел пешеход, а в 10{:}15 вслед за ним отправился велосипедист, который догнал пешехода в 10{:}30. В какой момент времени нужно было выехать велосипедисту из пункта A, чтобы догнать пешехода в 10{:}00? (Скорости пешехода и велосипедиста постоянны.)
Сложная
Уравнения
Покори Воробьевы горы! 2026, 9 класс, задача 2
Известно, что 4001 - простое число. Найдите все натуральные n, при которых n(n+4001) является квадратом натурального числа.
Сложная
Теория чисел
Покори Воробьевы горы! 2026, 9 класс, задача 3
Будем обозначать operatorname{Окр}(x) результат округления числа x до ближайшего целого по стандартным математическим правилам, например, operatorname{Окр}(3,14) = 3, operatorname{Окр}(2,71) = 3, operatorname{Окр}(4,5) = 5. Задана последовательность чисел an = n+operatorname{Окр}(sqrt n),
Сложная
Алгебра
Покори Воробьевы горы! 2026, 9 класс, задача 4
На доске были написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа a и b и заменяем их на числа 5a - 3b и 7a - 5b. Вначале на доске были записаны числа 15, 16, 17, ldots, 40. Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа 2001, 2002, 2003, ldots, 2026?
Сложная
Теория чисел
Покори Воробьевы горы! 2026, 9 класс, задача 5
В городской парк прибыли 49 волонтеров для уборки мусора. Они разбились на две группы, каждая группа собрала одинаковое количество мусора. Обе группы начали сбор мусора одновременно, но первая группа закончила на 1 час позже второй. Каждая группа делала перерыв на обед, известно, что во второй групп
Сложная
Уравнения
Покори Воробьевы горы! 2026, 9 класс, задача 6
В правильном семиугольнике провели самые длинные диагонали. Получившуюся семиугольную звёздочку вырезали и раскрасили, будто это ромашка (см. рис.). Потом белые лепестки согнули у основания по пунктирным линиям так, чтобы они накрывали центр. Найдите площадь множества всех точек, которые накрываются
