Покори Воробьевы горы! 2026, 11 класс, задача 3

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2026, 11 класс

В выпуклом четырехугольнике диагонали и взаимно перпендикулярны, угол - прямой, . На стороне выбрана точка так, что пересекает в точке , . Найдите площадь четырехугольника , если .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Так как углы и равны (два острых угла с соответственно перпендикулярными сторонами), то . Обозначим в этих треугольниках , . Тогда , , и по теореме синусов в :

Тогда

Рисунок к решению

Значит, высота в , проведенная из вершины , равна , .

Тогда . Диагонали четырехугольника равны , .

Поэтому .

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2022, 10 класс, задача 4

Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник ABCD с наименьшим периметром, в котором AB=BC=CD и все попарные расстояния между точками A, B, C и D выражаются целыми числами. Чему равна площадь этого четырёхугольника?
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 2

Даны лежащие в одной плоскости две трапеции ABCD и AEFD с общим основанием AD=6 и одинаковыми высотами, равными 8. При этом BC=EF=2, расстояние между точками C и E равно 1. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке P, а сторон AE и DF - в точке Q. Найдите площадь четырехугольника APQD.
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2024, 11 класс, задача 4

В остроугольном треугольнике PVG обозначили точку пересечения высот через H, центр описанной окружности через O. Площади треугольников OHP и OHV равны 5 и 3 соответственно. Найдите площадь треугольника OHG.
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 4

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=√(13).
Очень сложная
Планиметрия