Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 4

Очень сложная

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Заключительный этап, 2023, 11 класс

В треугольнике биссектриса и медиана равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника , если .

Ответ: .

Решение. Пусть , . Так как - высота и биссектриса треугольника , то этот треугольник равнобедренный, поэтому , , и по формуле для длины биссектрисы (здесь ):

то есть

Из треугольника получаем .

Значит, , , , .

Площадь треугольника равна

Возможны и другие способы решения. Например, в треугольнике известны две стороны и . Обозначим , . После этого выразим через биссектрису (формула ) и медиану и приравняем их. Находим , а после этого площадь либо по формуле Герона, либо с помощью теоремы косинусов.

Рисунок к решению

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 3

Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник ABCD с наименьшим периметром, в котором AB=BC=CD и все попарные расстояния между точками A, B, C и D выражаются целыми числами. Чему при этом равен радиус описанной вокруг ABCD окружности?

Очень сложная

Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2021, 10-11 классы, задача 5

Бумажный квадрат площади 17 согнули по прямой, проходящей через его центр, после чего соприкасающиеся части склеили. Найдите максимально возможную площадь получившейся бумажной фигуры.

Очень сложная

Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2023, 10 класс, задача 4

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=√(13).

Очень сложная

Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2024, 10 класс, задача 2

На бумажном правильном треугольнике со стороной 45 отметили 2023 красных точки. Можно ли на этом треугольнике разместить два правильных треугольника со стороной 1, не имеющих общих внутренних точек, так, чтобы внутри каждого из них не было ни одной красной точки?

Очень сложная

Планиметрия