Покори Воробьёвы горы! 2024, 10 класс, задача 2

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2024, 10 класс

На бумажном правильном треугольнике со стороной отметили красных точки. Можно ли на этом треугольнике разместить два правильных треугольника со стороной , не имеющих общих внутренних точек, так, чтобы внутри каждого из них не было ни одной красной точки?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы
Ответ

Ответ: Можно.

Решение. Проведя прямых, параллельных сторонам исходного треугольника, разобьем бумажный треугольник на правильных треугольников со стороной . Так как отмечено точки, то существует, как минимум, два треугольника, на которых точек нет (принцип Дирихле).

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 4

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=√(13).
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 3

Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник ABCD с наименьшим периметром, в котором AB=BC=CD и все попарные расстояния между точками A, B, C и D выражаются целыми числами. Чему при этом равен радиус описанной вокруг ABCD окружности?
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2021, 10-11 классы, задача 5

Бумажный квадрат площади 17 согнули по прямой, проходящей через его центр, после чего соприкасающиеся части склеили. Найдите максимально возможную площадь получившейся бумажной фигуры.
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2021, 11 класс, задача 5

Бумажный квадрат площади 17 согнули по прямой, проходящей через его центр, после чего соприкасающиеся части склеили. Найдите максимально возможную площадь получившейся бумажной фигуры.
Очень сложная
Планиметрия