Покори Воробьёвы горы! 2024, 11 класс, задача 4
В остроугольном треугольнике обозначили точку пересечения высот через , центр описанной окружности через . Площади треугольников и равны и соответственно. Найдите площадь треугольника .
Ответ: или .
Решение. В точке пересекаются три высоты треугольника. Так как - центр описанной окружности, то в точке пересекаются серединные перпендикуляры треугольника. Пусть точка - середина стороны , тогда - медиана. Точка - точка пересечения медианы и прямой .
Треугольника и подобны (следует из параллельности прямых и , которые обе перпендикулярны прямой ). Так как (это факт из школьной геометрии), то коэффициент подобия равен .
Значит, , то есть медиана делится точкой в отношении . Это означает, что - точка пересечения медиан треугольника .
Поэтому площадь в раза больше площади . Так как - середина , то
Но здесь ошибкой был бы вывод о том, что, значит, . Дело в том, что выше доказано, что одна из этих трех площадей является суммой двух других. Но какая именно, зависит от рисунка, который мы сделаем. Важно, где прямая пересекает стороны треугольника. Если треугольник правильный, то точки и совпадают и указанные в условии задачи три площади вырождаются (это здесь невозможно, так как дано, что площади равны и ). Если прямая проходит через любую вершину треугольника, то тогда одна из трех площадей равна , а две другие - ненулевые, но равны между собой (тоже не наш случай). Если же прямая пересекает две стороны (рассмотренный выше случай), то мы доказали, что одна из этих трех площадей (в одном случае это , в другом - , в третьем - ) является суммой двух других.
Поэтому получаем либо (то есть ), либо (то есть ), либо (что невозможно).