Покори Воробьевы горы! 2026, 10 класс, задача 3

Очень сложная
Планиметрия
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2026, 10 класс

В выпуклом четырехугольнике диагонали и взаимно перпендикулярны, угол - прямой, . На стороне выбрана точка так, что пересекает в точке , . Найдите площадь четырехугольника , если .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Так как углы и равны (два острых угла с соответственно перпендикулярными сторонами), то . Обозначим в этих треугольниках , . Тогда , , и по теореме синусов в :

Тогда

Рисунок к решению

Значит, высота в , проведенная из вершины , равна , .

Тогда . Диагонали четырехугольника равны , .

Поэтому .

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2023, 10 класс, задача 4

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=√(13).
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 4

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD равны и перпендикулярны. Найдите площадь треугольника ABC, если AB=√(13).
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2021, 10 класс, задача 5

Бумажный квадрат площади 17 согнули по прямой, проходящей через его центр, после чего соприкасающиеся части склеили. Найдите максимально возможную площадь получившейся бумажной фигуры.
Очень сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2024, 10 класс, задача 2

На бумажном правильном треугольнике со стороной 45 отметили 2023 красных точки. Можно ли на этом треугольнике разместить два правильных треугольника со стороной 1, не имеющих общих внутренних точек, так, чтобы внутри каждого из них не было ни одной красной точки?
Очень сложная
Планиметрия