Покори Воробьевы горы! 2026, 10 класс, задача 5

Очень сложная
Теория чисел
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2026, 10 класс

На доске написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа и и заменяем их на числа и . Вначале были записаны числа , , , , . Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа , , , , ?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: Нет.

Решение. Легко убедиться в справедливости следующих утверждений:

  • Если и кратны , то и и оба кратны .
  • Если среди чисел и только одно кратно , то и среди чисел и только одно кратно .
  • Если среди чисел и нет кратных , то и среди чисел и нет кратных .

Но, поскольку в последовательности , , , , имеется чисел кратных , а в последовательности , , , , всего только чисел кратных , то это невозможно.

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2021, 11 класс, задача 1

Натуральные числа, начиная с 20, выписали в одну строку: 20212223ldots Какая цифра стоит в получившейся последовательности цифр на 2021 месте?
Очень сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 1

Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности 6, 7, 8, 9, 10, ldots, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа 8=23, 9=32, 16=42, ldots)?
Очень сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2025, 10 класс, задача 2

Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, 2025 год - замечательный, поскольку 2025 делится на 20+25=45. Сколько ещё замечательных годов в XXI веке (с 2001 по 2100 год включительно)?
Очень сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 4

Множество A состоит из натуральных чисел n, делящихся на [3√(n)]. Здесь [x] - целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превышающее x. Найдите количество чисел из отрезка [25,2025], принадлежащих множеству A.
Очень сложная
Теория чисел