Покори Воробьёвы горы! 2025, 10 класс, задача 2
Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, год - замечательный, поскольку делится на . Сколько ещё замечательных годов в XXI веке (с по год включительно)?
Ответ: .
Решение. Во-первых, заметим, что года, у которых третья цифра не могут быть замечательными просто потому, что не образуется двух двузначных чисел, из которых год составлен. И хотя делится на , а делится на , эти года не будут замечательными, так как числа и соответственно не двузначные.
Для поиска остальных нужных годов обозначим год как . При этом , . Если делится на , то тоже делится на . Так как , то это число имеет делителей, и нужно найти те из них, которые находятся на отрезке . Таких делителей , это числа: , , , , , , , , , , . Тогда будет на меньше, что соответствует следующим годам , , , , , , , , , , .
Таким образом, всего в XXI веке замечательных годов . Но при ответе на вопрос «Сколько ещё замечательных годов...?», мы должны учесть все года, кроме , то есть правильный ответ - .
Замечание. Отметим, что формулировка задачи не вполне строгая, и она, вообще говоря, допускала также трактовку, при которой года и также могли считаться замечательными. В этом случае она также считалась решенной правильно.