Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 6
Для натурального числа выписали все его натуральные делители в порядке возрастания: .
Обозначим количество натуральных делителей числа через .
Найдите все возможные значения , если известно, что
Ответ: , , , , , , .
Решение. Заметим, что если имеется разложение числа на простые делители
то и .
Из условия вытекает, что . Разберем несколько случаев:
1. Пусть . Тогда
Следовательно,
Значит, этот случай нам подходит.
Поскольку - простое, то по приведенной выше формуле могло получиться только как , то есть в этом случае возможен только вариант , где - простое число. Следовательно, .
2. Пусть . Тогда
Следовательно,
Этот случай подходит.
Поскольку , то существует несколько разложений следующего вида
Откуда все возможные значения в этом случае равны:
3. Пусть . Тогда
Следовательно, . Этот случай подходит. Поскольку - простое, то существует только одно разложение вида . Поэтому в этом случае возможен только вариант вида , где - простое число. Следовательно, .
4. Пусть . Тогда , . Следовательно, .
Этот случай нам не подходит.