Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 1

Очень сложная
Теория чисел
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2022, 11 класс

Какое число окажется на -м месте в бесконечной последовательности , , , , , , если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа , , , )?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Среди чисел , , , , , будет: чисел, которые являются полными квадратами; чисел, являющихся полными кубами; и чисел, из которых извлекается как вторая, так и третья степень (то есть шестая степень).

Поэтому количество чисел в последовательности , , , , , без полных квадратов и кубов выражается формулой: . Так как в последовательности , , , , таких чисел будет на меньше (это числа , и ), то решаем уравнение

а) Если , то

б) Если , то и .

Значит, . Тогда из уравнения получаем ответ .

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 4

Множество A состоит из натуральных чисел n, делящихся на [3√(n)]. Здесь [x] - целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превышающее x. Найдите количество чисел из отрезка [25,2025], принадлежащих множеству A.
Очень сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 6

Для натурального числа N выписали все его натуральные делители pl в порядке возрастания: 1=p12k=N. Обозначим количество натуральных делителей числа N через σ(N). Найдите все возможные значения σ(N3), если известно, что p3 · p4 · p
Очень сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2022, 10 класс, задача 1

Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности 12, 13, 14, 15, 16, 17, ldots, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа 16=42, 25=52, 27=33, ldots)?
Очень сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2025, 10 класс, задача 2

Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, 2025 год - замечательный, поскольку 2025 делится на 20+25=45. Сколько ещё замечательных годов в XXI веке (с 2001 по 2100 год включительно)?
Очень сложная
Теория чисел