Покори Воробьёвы горы 2026, 10-11 классы, задача 4
Таня задумала две такие цифры и , что составленное из них двузначное число является простым и произведение двух четырёхзначных чисел и при делении на дает в остатке . Определите все возможные значения получающегося простого числа.
Ответ
Ответ: или .
Решение. Так как остаток от деления числа на равен остатку от деления на знакопеременной суммы его цифр: (этот факт легко получить, если вспомнить признак делимости на и его доказательство), то при делении на число имеет остаток , а число имеет остаток . Значит, произведение при делении на имеет тот же остаток, что и произведение исходных четырехзначных чисел.
Так как и цифры, то , . При этом произведение должно давать остаток при делении на , а значит, оно может быть равно одному из чисел , , , , , , , , , , , , , .
Подходящие варианты:
| Числа | ||||
|---|---|---|---|---|
Простыми двузначными являются два числа и .