Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 4

Очень сложная
Теория чисел
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2025, 11 класс

Множество состоит из натуральных чисел , делящихся на . Здесь - целая часть числа , то есть наибольшее целое число, не превышающее . Найдите количество чисел из отрезка , принадлежащих множеству .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Так как для натуральных чисел от до (включительно) , то все они входят в множество . Всего чисел.

Из отрезка , для которого , в множество входят четные числа . Всего их .

Из отрезка , для которого , в множество входят кратные числа . Всего их .

В общем случае, из отрезка , для которого , в множество входят числа, делящиеся на . Всего этих чисел .

Так как наименьшее и наибольшее числа из отрезка равны и , соответственно, то искомое количество равно сумме трех слагаемых:

а) количество четных чисел из отрезка , такое число одно - это число ;

б) количество подходящих чисел из отрезка , оно равно

в) количество делящихся на чисел из отрезка , оно равно .

Суммарное количество: .

Похожие задачи

Покори Воробьевы горы! 2026, 10 класс, задача 5

На доске написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа a и b и заменяем их на числа 5a-3b и 7a-5b. Вначале были записаны числа 15, 16, 17, ldots, 40. Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа 2001, 2002, 2003, ldots, 2026?
Очень сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2021, 10-11 классы, задача 1

Натуральные числа, начиная с 20, выписали в одну строку: 20212223ldots Какая цифра стоит в получившейся последовательности цифр на 2021 месте?
Очень сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 1

Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности 6, 7, 8, 9, 10, ldots, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа 8=23, 9=32, 16=42, ldots)?
Очень сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2023, 10 класс, задача 5

Для натурального числа N выписали все его натуральные делители pl в порядке возрастания: 1=p12k=N. Обозначим количество натуральных делителей числа N через σ(N). Найдите все возможные значения σ(N3), если известно, что p3 · p4 · p
Очень сложная
Теория чисел