Покори Воробьевы горы! 2026, 9 класс, задача 2

Сложная
Теория чисел
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2026, 9 класс

Известно, что - простое число. Найдите все натуральные , при которых является квадратом натурального числа.

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Обозначим , . Рассмотрим два случая:

а) .

Подставим в уравнение . Но левая часть . Противоречие.

б) .

Подставим в уравнение . Следовательно, , обозначим и подставим: . Умножим на два и прибавим к обеим частям . Один из сомножителей должен быть равен , но , следовательно , .

Значит, , . Подставив , получаем ответ.

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 3

Найдите все пары натуральных чисел (x,y), для которых выполнено равенство (x+y)(x+y+1)+y=2022.
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 1

На цветочном рынке Маша купила 156 хризантем, 312 тюльпанов и 390 роз. Какое наибольшее количество одинаковых букетов сможет составить Маша из этих цветов, чтобы все цветы были полностью израсходованы? (Букеты считаются одинаковыми, если в каждом из них одинаковое число цветов каждого наименования.)
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 2

Будем обозначать overline{abc} трехзначные числа, записанные цифрами a, b, c. Сколько существует трехзначных чисел, таких, что разность overline{abc}-overline{acb} делится на 72 без остатка?
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 1

Работники должны были вскопать несколько одинаковых грядок. В первый день работники вскопали 10 грядок, причем каждый вскопал одинаковое количество (не обязательно целое число грядок). На следующий день некоторые работники заболели COVID-19 и на работу вышло только 7 человек. Пришедшие работали поло
Сложная
Теория чисел