Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 3

Сложная

Теория чисел

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Заключительный этап, 2022, 9 класс

Найдите все пары натуральных чисел , для которых выполнено равенство

Ответ: .

Решение. Если , то левая часть больше и равенство невозможно.

Если , то , поэтому , что невозможно.

Остается вариант , при подстановке получим , откуда , .

Альтернативное решение. Запишем цепочку неравенств

и сделаем замену , тогда и . Решим эти неравенства, единственное общее решение в натуральных числах .

Похожие задачи

Покори Воробьевы горы! 2026, 9 класс, задача 2

Известно, что 4001 - простое число. Найдите все натуральные n, при которых n(n+4001) является квадратом натурального числа.

Сложная

Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 1

Найдите все пары простых чисел p и q, для которых выполнено равенство p^q-q^p+3=2^p-1. Напоминаем, что «простыми» называют натуральные числа, отличные от 1, которые делятся только на 1 и на само себя.

Сложная

Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 1

Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, 2025 год - замечательный, поскольку 2025 делится на 20+25=45. Назовите ближайший следующий замечательный год?

Сложная

Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 1

Работники должны были вскопать несколько одинаковых грядок. В первый день работники вскопали 10 грядок, причем каждый вскопал одинаковое количество (не обязательно целое число грядок). На следующий день некоторые работники заболели COVID-19 и на работу вышло только 7 человек. Пришедшие работали поло

Сложная

Теория чисел