Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 1
Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, год - замечательный, поскольку делится на . Назовите ближайший следующий замечательный год?
Ответ
Ответ: .
Решение. Будем искать замечательное число на отрезке . Оно может быть записано как . Если делится на , значит тоже делится на . Также заметим, что должно быть выполнено условие , поскольку . Итак, задача свелась к нахождению наименьшего делителя , большего .
Разложим на простые множители: , тогда , где , , , целые неотрицательные числа, удовлетворяющие условиям , , , .
Если , то ближайшее к число, кратное , - это . Если , , то ближайшее к число, кратное , - это , но оно не является делителем (а следующее число, кратное , мы уже рассмотрели ранее). Предположим теперь, что . Тогда . Значит, ближайшим является , которому соответствует год.
Конечно, эту задачу можно было решить просто показав, что числа не делятся на соответственно, а число делится на . Но это должен быть полный перебор, и он поэтому достаточно громоздок.