Покори Воробьевы горы! 2026, 9 класс, задача 4

Сложная
Теория чисел
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2026, 9 класс

На доске были написаны некоторые целые числа. На каждом шаге мы выбираем числа и и заменяем их на числа и . Вначале на доске были записаны числа . Можно ли через конечное число шагов получить на доске числа ?

Верно или неверно?

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: Нет.

Решение. Легко убедиться в справедливости следующих утверждений:

  • Если и кратны , то и , и - оба кратны .
  • Если среди чисел и только одно кратно , то и среди чисел и только одно кратно .
  • Если среди чисел и нет кратных , то и среди чисел и нет кратных .

Но, поскольку в последовательности имеется чисел кратных , а в последовательности всего только чисел кратных , то это невозможно.

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 3

Найдите все пары натуральных чисел (x,y), для которых выполнено равенство (x+y)(x+y+1)+y=2022.
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 5

Сколько существует различных квадратных трехчленов f(x)=x2+px+q с целыми коэффициентами p, q, для которых выполнены два условия: 1) f(2023)=202524; 2) уравнение f(x)=0 имеет целый корень.
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 1

На цветочном рынке Маша купила 156 хризантем, 312 тюльпанов и 390 роз. Какое наибольшее количество одинаковых букетов сможет составить Маша из этих цветов, чтобы все цветы были полностью израсходованы? (Букеты считаются одинаковыми, если в каждом из них одинаковое число цветов каждого наименования.)
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 1

Работники должны были вскопать несколько одинаковых грядок. В первый день работники вскопали 10 грядок, причем каждый вскопал одинаковое количество (не обязательно целое число грядок). На следующий день некоторые работники заболели COVID-19 и на работу вышло только 7 человек. Пришедшие работали поло
Сложная
Теория чисел