Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 5
Сколько существует различных квадратных трехчленов с целыми коэффициентами , , для которых выполнены два условия:
;
уравнение имеет целый корень.
Ответ: .
Решение: Обозначим это тоже трехчлен с целыми коэффициентами и свободным членом, равным У многочлена есть корни, значит его можно представить в виде и раз то и произведение его корней должно равняться Разложим на простые множители следовательно У этого числа натуральных делителей, которые можно разбить на пар, произведение, которых равно а делитель, равный не будет иметь пары. Всего получается вариантов с положительными корнями, к которым надо добавить столько же вариантов с отрицательными, итого Очевидно, что все эти варианты дают разные квадратные трехчлены т.к. корни разные), а значит тоже будут разные.