Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 1

Сложная
Теория чисел
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2023, 9 класс

Найдите все пары простых чисел и , для которых выполнено равенство

Напоминаем, что «простыми» называют натуральные числа, отличные от , которые делятся только на и на само себя.

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: , .

Решение. Заметим, что одно из них должно быть четным (чтобы левая часть была четной), и разбираем два варианта:

,

Из единственности разложения на простые множители вытекает, что и должны быть степенями двойки, разница между которыми равна , что возможно только при .

.

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 1

На цветочном рынке Маша купила 156 хризантем, 312 тюльпанов и 390 роз. Какое наибольшее количество одинаковых букетов сможет составить Маша из этих цветов, чтобы все цветы были полностью израсходованы? (Букеты считаются одинаковыми, если в каждом из них одинаковое число цветов каждого наименования.)
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 2

Будем обозначать overline{abc} трехзначные числа, записанные цифрами a, b, c. Сколько существует трехзначных чисел, таких, что разность overline{abc}-overline{acb} делится на 72 без остатка?
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 1

Назовем год замечательным, если номер года делится на сумму двузначных чисел, из которых этот номер составлен. Например, 2025 год - замечательный, поскольку 2025 делится на 20+25=45. Назовите ближайший следующий замечательный год?
Сложная
Теория чисел

Покори Воробьевы горы! 2026, 9 класс, задача 2

Известно, что 4001 - простое число. Найдите все натуральные n, при которых n(n+4001) является квадратом натурального числа.
Сложная
Теория чисел