Покори Воробьёвы горы 2026, 10 класс, задача 6; 11 класс, задача 5
Петя и Вася играют в кубики. За один ход Петя бросает правильный -гранник (додекаэдр) с числами , , , на гранях. За один ход Вася бросает два кубика (гексаэдра) с числами , , , на гранях и складывает два выпавших на них числа. Побеждает тот игрок, у кого больше очков. Второй ход делается только в случае равного количества очков. Если победитель опять не выявлен, делается третий ход. После этого игра заканчивается в любом случае.
А) Какова вероятность, что Петя выиграет уже после первого хода?
Б) Какова вероятность того, что победитель так и не будет выявлен?
В) У кого из игроков вероятность выиграть больше, и чему она равна?
Ответ
Ответ: А) ; Б) ; В) У Васи вероятность больше, она равна .
Решение. Рассмотрим один ход. Всего имеется различных равновероятных исходов бросков. В зависимости от числа очков, выпавших у Пети (все эти случаев равновероятны), количество исходов, при которых у Васи выпадает соответственно или столько же очков, или меньше, или больше, чем у Пети, указано в следующей таблице:
| П | |||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| В = П | |||||||||||||
| В < П | |||||||||||||
| В > П |
Если отбросить временно первый столбец (соответствующий значению ), то в этой укороченной таблице:
- число из любого столбца третьей строки получается суммированием чисел из предыдущих столбцов второй строки, а число четвёртой строки - суммированием чисел из следующих столбцов второй строки;
- вторая строка симметрична относительно её среднего числа с номером , т.е. , поскольку каждому исходу бросания двух кубиков с суммой взаимно-однозначно соответствует «симметричный» исход с суммой ;
- из первых двух пунктов следует, что третья и четвертая строки также симметричны друг другу относительно -го столбца.
Далее, теперь уже в полной таблице:
- во второй строке сумма чисел равна (поскольку каждый из исходов бросания двух кубиков учтён ровно здесь один раз - в столбце с соответствующим значением суммы );
- сумма чисел четвёртой строки, из-за числа в её самом первом столбце, на больше, чем в третьей, поэтому она больше сумм чисел как второй, так и третьей строки, а сумма чисел всех трёх этих строк равна
Таким образом, четвертая строка содержит в точности всех исходов, третья - , а вторая - . Последние три числа как раз и совпадают с вероятностями Васиного выигрыша, проигрыша и ничьей соответственно.
Таким образом, после первого хода вероятность выигрыша Васи равна , а вероятность выигрыша Пети равна .
Вероятность ничьей после -х ходов равна
В итоге Вася выиграет с вероятностью
Петя выиграет с вероятностью
Вероятность выигрыша больше у Васи, так как
Легко убедиться, что сумма последних трех вероятностей равна .