Покори Воробьевы горы! 2026, 9 класс, задача 6

Сложная
Тригонометрия
Планиметрия
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2026, 9 класс

В правильном семиугольнике провели самые длинные диагонали. Получившуюся семиугольную звёздочку вырезали и раскрасили, будто это ромашка (см. рис.). Потом белые лепестки согнули у основания по пунктирным линиям так, чтобы они накрывали центр. Найдите площадь множества всех точек, которые накрываются всеми лепестками одновременно. В ответе укажите отношение этой площади к площади изначального семиугольника.

Рисунок к условию

Ответ:

Решение. Сначала нужно разобраться, какая фигура получится.

Красным проведём оставшиеся диагонали. Пунктиром обозначим места сгиба. В пунктирном семиугольнике тоже проведём диагонали, их пометим оранжевым цветом.

Рисунок 1 к решению

Сумма углов семиугольника равна . Значит, угол при вершине семиугольника равен . Угол делится диагоналями на частей, и они на самом деле равные, так как если вписать семиугольник в окружность, то эти острые углы будут опираться на одинаковые по длине хорды (стороны семиугольника). Значит, угол в вершине луча равен , следовательно, можно найти углы при основании (пунктирном) равнобедренного треугольника, являющегося «лучём» звезды. Эти углы равны

Но такой же угол получается между пунктиром и оранжевой диагональю маленького семиугольника. Оказывается, при складывании вершина «луча» звезды попадает ровно в вершину пунктирного семиугольника, и после складывания черные стороны лучей звезды лягут ровно на оранжевые диагонали.

Значит, нужно узнать площадь самого маленького семиугольника. Достаточно узнать, во сколько раз его сторона меньше стороны изначального семиугольника, а площади будут относиться как этот коэффициент, возведённый в квадрат.

Пусть сторона синего семиугольника . Несложно найти, что , , . Тогда

Рисунок 2 к решению

Найдём длину стороны через подобие треугольников и . Во сколько раз короче - во столько раз короче .

когда

Получается, что короче в раз.

Заметим, что сторона маленького оранжевого семиугольника относится к стороне пунктирного так же, как сторона относится к стороне .

Это значит, что сторона маленького оранжевого семиугольника меньше стороны в

раз.

Для площади этот коэффициент нужно взять в квадрате. Следовательно, ответ равен

Возможны другие пути решения, например, использующие теорему синусов. Возможны альтернативные формы записи ответа. В частности, следующие:

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 3

Квадрат ABCD со стороной 9 и квадрат DEFG со стороной π имеют общую вершину D, при этом точка E лежит на отрезке CD. Найдите наибольшее возможное значение площади параллелограмма AMNF, если точка C лежит на отрезке MN и делит его в отношении 1:π.
Сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 6

Через концы дуги widehat{AB}, угловая величина которой равна 60circ, проведены параллельные хорды BC и AD, причем длина BC в четыре раза меньше длины AD. Хорды AB и CD продолжены до пересечения в точке E. Найдите площадь треугольника AED, если известно, что |AC|=30.
Сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 3

В выпуклом 2024-угольнике длины всех диагоналей не превосходят 1. Какое наибольшее количество сторон длины 1 может быть в этом 2024-угольнике? Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 5

Ольга Ивановна, классная руководительница 5Б, ставит «Математический балет». Она хочет расставить мальчиков и девочек так, чтобы на расстоянии 5 м от каждой девочки было ровно 2 мальчика. Какое наибольшее количество девочек сможет участвовать в балете, если известно, что в нем участвуют 5 мальчиков?
Сложная
Планиметрия