Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 3
В выпуклом -угольнике длины всех диагоналей не превосходят . Какое наибольшее количество сторон длины может быть в этом -угольнике?
Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Ответ: .
Решение: Докажем, что не может быть и более сторон длины От противного, допустим, таких сторон Тогда найдутся две, не имеющие общих вершин. Обозначим их и Пусть и пересекаются в точке см. рис
По неравенству треугольника Сложив эти неравенства, получим, что Но, с другой стороны Противоречие. Пример, в котором ровно стороны равны можно построить следующим образом: возьмем окружность радиуса с центром в точке и на дуге выберем точки Тогда а все диагонали не превосходят см. рис
