Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 5
Ольга Ивановна, классная руководительница Б, ставит «Математический балет». Она хочет расставить мальчиков и девочек так, чтобы на расстоянии м от каждой девочки было ровно мальчика. Какое наибольшее количество девочек сможет участвовать в балете, если известно, что в нем участвуют мальчиков?
Ответ: девочек.
Решение. Выберем и зафиксируем произвольных мальчиков - и . Допустим, что они находятся на расстоянии м от некоторой девочки - . Тогда , и образуют равнобедренный треугольник с боковыми сторонами м. При фиксированных позициях и существует не более двух таких треугольников (тут нужна картинка!). Следовательно, для любой пары мальчиков может быть не более двух девочек. Всего пар мальчиков , откуда и получим верхнюю оценку.
Несложно показать, что она достигается - просто поставив мальчиков в ряд с интервалом м и построив все возможные равнобедренные треугольники (у них вершины, очевидно, будут разные).