Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 3
Квадрат со стороной и квадрат со стороной имеют общую вершину , при этом точка лежит на отрезке . Найдите наибольшее возможное значение площади параллелограмма , если точка лежит на отрезке и делит его в отношении .
Ответ: .
Решение. Возможны две разные конфигурации, в зависимости от того, где лежит точка : вне большого квадрата или внутри него.
Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника , площадь которого можно найти после некоторых вычислений (с использованием тригонометрии или без нее).
При этом в первом случае (см. рисунок) есть эффективный способ решения: площадь равна площади (эти треугольники имеют одинаковое основание и равные высоты, так как ) и равна поэтому половине площади большого квадрата. Значит, площадь параллелограмма равна площади квадрата , то есть .
Если же точка лежит внутри большого квадрата, то нахождение площади более громоздко. Однако в нем нет необходимости, так как в этом случае площадь параллелограмма заведомо меньше , так как точка теперь находится внутри треугольника , и поэтому площадь треугольника меньше площади треугольника , площадь которого равна половине площади большого квадрата.
Заметим, что сторона меньшего квадрата и отношение могли использоваться при решении задачи другими способами, но на ответ в итоге не влияют.