Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 6

Сложная
Планиметрия
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2023, 9 класс

Через концы дуги , угловая величина которой равна , проведены параллельные хорды и , причем длина в четыре раза меньше длины . Хорды и продолжены до пересечения в точке . Найдите площадь треугольника , если известно, что .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение: Дуги и равны, поэтому , как половина соответствующего центрального угла. Поскольку , то можно найти проекцию на , равную и высоту трапеции , равную .

Отсюда площадь равна , из подобия треугольников с следует, что площадь составляет от площади , следовательно, .

Рисунок к решению

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 3

В выпуклом 2024-угольнике длины всех диагоналей не превосходят 1. Какое наибольшее количество сторон длины 1 может быть в этом 2024-угольнике? Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 5

Ольга Ивановна, классная руководительница 5Б, ставит «Математический балет». Она хочет расставить мальчиков и девочек так, чтобы на расстоянии 5 м от каждой девочки было ровно 2 мальчика. Какое наибольшее количество девочек сможет участвовать в балете, если известно, что в нем участвуют 5 мальчиков?
Сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 3

Квадрат ABCD со стороной 9 и квадрат DEFG со стороной π имеют общую вершину D, при этом точка E лежит на отрезке CD. Найдите наибольшее возможное значение площади параллелограмма AMNF, если точка C лежит на отрезке MN и делит его в отношении 1:π.
Сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 6

Робот-маляр пытается покрасить стену. Робот представляет из себя конечность из трёх деталей. Штанга AB длиной l перпендикулярна полу и может ездить от точки a до точки b (расстояние между a и b равно 2l). Вторая часть конечности, штанга BC длиной 2l, свободно поворачивается относительно шарнира B. П
Сложная
Планиметрия