Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 6

Сложная
Планиметрия
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2024, 9 класс

Робот-маляр пытается покрасить стену. Робот представляет из себя конечность из трёх деталей. Штанга длиной перпендикулярна полу и может ездить от точки до точки (расстояние между и равно ). Вторая часть конечности, штанга длиной , свободно поворачивается относительно шарнира . По штанге ползает красящая насадка .

Какую площадь стены сможет покрасить этот механизм?

Рисунок к условию

Ответ: .

Решение: Манипулятор сможет достать до отмеченных на рисунке точек. Мы учитываем, что штанга может упираться в пол, из-за чего покрасить маленький треугольник посередине не получится.

Рисунок к решению

Радиус круглых кусков равен длине . Они дополняются прямоугольными треугольниками с катетом высотой с штангу и гипотенузой (штангой ) длиной . То есть треугольники с углом в градусов, второй катет равен . Значит, углы двух секторов равны градусам. Прямоугольник посередине имеет основание шириной в (по условию) и высоту в (распрямлённый манипулятор достаёт до такой высоты). Углы при основании маленького треугольника равны градусам, а само основание равно . Высота маленького треугольника, соответственно, равна .

В итоге площадь получается такая (два сектора + треугольника + прямоугольник - маленький треугольник):

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 5

Ольга Ивановна, классная руководительница 5Б, ставит «Математический балет». Она хочет расставить мальчиков и девочек так, чтобы на расстоянии 5 м от каждой девочки было ровно 2 мальчика. Какое наибольшее количество девочек сможет участвовать в балете, если известно, что в нем участвуют 5 мальчиков?
Сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2024, 9 класс, задача 3

В выпуклом 2024-угольнике длины всех диагоналей не превосходят 1. Какое наибольшее количество сторон длины 1 может быть в этом 2024-угольнике? Напомним, что выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 6

Через концы дуги widehat{AB}, угловая величина которой равна 60circ, проведены параллельные хорды BC и AD, причем длина BC в четыре раза меньше длины AD. Хорды AB и CD продолжены до пересечения в точке E. Найдите площадь треугольника AED, если известно, что |AC|=30.
Сложная
Планиметрия

Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 3

Квадрат ABCD со стороной 9 и квадрат DEFG со стороной π имеют общую вершину D, при этом точка E лежит на отрезке CD. Найдите наибольшее возможное значение площади параллелограмма AMNF, если точка C лежит на отрезке MN и делит его в отношении 1:π.
Сложная
Планиметрия