Покори Воробьевы горы! 2026, 11 класс, задача 6
Вершины треугольника лежат на графике многочлена -й степени. Стороны треугольника меньше . Докажите, что любая точка на границе или внутри треугольника лежит на некотором отрезке длиной меньше , концы которого лежат на графике этого многочлена.
Лемма. Если точки и графика многочлена лежат по разные стороны от прямой , то в полосе между прямыми и график и прямая имеет хотя бы одну общую точку (пересекаются); таких точек - конечное число.
Доказательство леммы. Пусть . Тогда - многочлен, который принимает в точках и значения разных знаков. Так как многочлен непрерывен на всей числовой прямой, то имеет в интервале хотя бы один корень, то есть или . Значит, - точка пересечения. Число таких точек конечно, так как многочлен имеет конечное число корней. Лемма доказана.
Абсциссы вершин треугольника попарно различны, так как всякому значению переменной соответствует только одно значение . Обозначим , , эти точки так, чтобы . Для точки на стороне треугольника утверждение задачи очевидно.
Рассмотрим точку внутри треугольника и случай, когда ; случай рассматривается аналогично. Через проведем прямую . Применим лемму к многочлену, к прямой , и к отрезкам и . Найдём точки и пересечения графика и прямой такие, что , . Так как таких точек конечное число, то можно считать, что - это точка с наименьшей абсциссой. Тогда при график лежит относительно по ту же сторону, что и вершина .
Если , см. рис , то утверждение задачи верно, так как можно параллельно сдвинуть в сторону , длиной меньше .
Значит, .
Если не принадлежит , см. рис , то . Проведём через прямую . Теперь применим лемму к прямой и отрезкам , . Найдём точки и пересечения графика и прямой такие, что , . Тогда , а отрезок можно параллельно сдвинуть в сторону .
Значит, .