Покори Воробьевы горы! 2026, 11 класс, задача 2
Уравнение имеет три корня: , и . Какие значения может принимать объем параллелепипеда со сторонами , , ?
Ответ
Ответ: .
Решение. Среди всех параллелепипедов с заданной длиной сторон максимальный объем имеет прямоугольный параллелепипед. При изменении углов между сторонами объем может стать сколь угодно малым, принимая все промежуточные значения.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен
По теореме Виета для многочленов корни , и уравнения
удовлетворяют соотношениям , , . Поэтому объем прямоугольного параллелепипеда равен . Значит, объем может принимать значения .
Заметим, что можно было, вместо этого, искать корни уравнения (это и ), но это более сложно и трудоемко.