Покори Воробьёвы горы 2021, 10-11 классы, задача 3
Сколько корней имеет уравнение
Ответ
Ответ: .
Решение. Уравнение преобразуется к виду
причем:
левая часть уравнения - степенная функция, выпуклая вверх (так как ), определенная при ;
правая часть уравнения - линейная функция с положительным угловым коэффициентом;
при значение левой части меньше, чем значение правой части;
при значение левой части, наоборот, больше значения правой, так как
при достаточно больших значениях правая часть уравнения будет больше левой, так как после деления их на левая будет стремиться к , а правая к .
Поэтому, так как функция выпуклая, то графики этих функций пересекаются ровно в двух точках (одна между и , другая правее ).
Каждое из этих двух положительных значений порождает по два корня исходного уравнения. Таким образом, всего корней .
Критерии. Типичный недостаток многих решений - ошибки и погрешности в обосновании количества пересечений двух кривых. Рассуждения типа «из графика видно, что...» или «сравнение производных показывает, что...» не являются доказательствами.