Покори Воробьёвы горы! 2025, 11 класс, задача 5

Очень сложная
Алгебра
Источник:
Покори Воро­бьёвы горы!, Заключительный этап, 2025, 11 класс

Найдите все положительные , при каждом из которых неравенство

выполняется при всех положительных и .

Войдите, чтобы проверять ответы

Ответ: .

Решение. Преобразуем неравенство к виду

Сделав замену , сведем это неравенство к неравенству

Рассмотрев функцию при , с помощью производной получим, что точка минимума этой функции равна .

Если , то , и при всех выполнено .

Если же , то .

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2022, 10 класс, задача 5

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства |x3+2x2+x-a|+|x3-2x2+x+a|2-8x представляет собой на числовой прямой промежуток длиной 2.
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2021, 10-11 классы, задача 3

Сколько корней имеет уравнение 2lg(x2-3)=lg 2x2-2?
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2021, 10 класс, задача 2

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение |x|-arcsin x+b · (arccos x+|x|-1)+a=0 при любом значении b имеет хотя бы одно решение.
Очень сложная
Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 4

Последовательность an задана формулами a1=(4043/2022),qquad an+1=an3-3an2+3an. Найдется ли натуральное число n такое, что |an|le(2022/2021)? Обоснуйте свой ответ.
Очень сложная
Алгебра