Покори Воробьёвы горы 2025, 10-11 классы, задача 6
Отрезок лежит на прямой и пересекается с отрезком в точке , причём , и . Для каких пар чисел и отрезок можно передвинуть по прямой так, чтобы в его новом положении выполнялось равенство ?
Ответ
Ответ: если , то - любое положительное число; если , то .
Решение. Рассмотрим случая.
-
Если , то отрезок достаточно расположить так, чтобы точка стала его серединой, а значит, четырёхугольник - параллелограммом.
-
Если и (случай рассматривается аналогично), то проекция отрезка на прямую имеет длину
Передвинем отрезок по прямой так, чтобы точки на ней располагались в указанном порядке, и обозначим , , , , , .
Тогда имеем
откуда получаем, что величина
при неограниченном увеличении параметра (а с ним и ) в некотором положении отрезка обязательно станет отрицательной. Аналогично, если те же точки на прямой расположены в порядке , , , , то та же величина при неограниченном увеличении параметра в некотором другом положении отрезка обязательно станет положительной. Поэтому в некотором промежуточном (между двумя указанными) положении отрезка рассматриваемая величина обязательно обнулится.
- Если и , то в обозначениях предыдущего пункта имеем