Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 5
У канала шириной метров от берега до середины вода течёт со скоростью м/сек, а после середины до берега скорость течения удваивается. На берегу у воды сидит Гидра. Напротив, на расстоянии метров от берега , сидит её подруга Выдра. Они одновременно бросаются навстречу друг другу - Гидра со скоростью м/сек, а Выдра со скоростью (и на суше, и в воде) Они обе держат путь перпендикулярно каналу, но вода, конечно, будет сносить их в сторону. Найдите скорость , при которой встреча подруг произойдет как можно ближе к середине канала.
Ответ: .
Решение. На самом деле вопрос с подвохом - при неправильном выборе подруги разминутся, и нужно найти такую скорость, чтобы встреча хоть как-то состоялась.
Действительно, давайте представим, что канал заполнен двумя рядами тонких брёвен - брёвна длиной по метров и повёрнуты поперёк течения. Верхний ряд брёвен движется со скоростью метр в секунду, а нижний - со скоростью метра в секунду. Гидра забегает на какое-то бревно из верхнего ряда, Выдра забегает на бревно из нижнего - и после этого они бегут вдоль своих брёвен. Чтобы встреча состоялась, нужно, чтобы эти два бревна состыковались ровно в то мгновение, когда Гидра (или Выдра - смотря кто быстрее) добежит до середины переправы - тогда она перескочит на правильное бревно, на то, по которому бежит подруга.
Первая версия - пусть до середины переправы первой доберётся Гидра. Значит, она перескочит с бревна на бревно при , на метров правее начального положения, и Выдре нужно бежать так, чтобы сесть ровно такое бревно из нижнего ряда, которое в момент времени окажется на метров правее начального положения. В нижнем ряду скорость брёвен вдвое выше, поэтому такое бревно поравняется с начальным положением при . То есть Выдре нужно подоспеть к берегу канала ровно к этому моменту. Расстояние до берега метров, значит, , то есть . Действительно ли при такой Гидра окажется первой на середине канала? Да, Выдре до середины канала нужно переместиться на метров, а .
Вторая версия - на середине переправы первой оказывается Выдра. Значит, Выдра перескакивает с бревна на бревно при . Бревно Гидры движется со скоростью метр в секунду, значит брёвна состыкуются на метров правее начального положения. То есть бревно Выдры при находилось на расстоянии правее начального положения, при оно было на левее начального положения, Выдра может вскочить на него в момент - но до канала она добирается секундами. Уравнение решений не имеет.
Могли бы подруги встретиться на берегу? Нет, не могли. Если вдруг Гидра пересекает канал быстрее, чем Выдра добегает до берега, то Гидра будет сдвинута относительно начального положения по горизонтали, а Выдра - нет.
Значит, ответ всего один, , и он обеспечивает ближайшую к середине встречу просто потому, что при других встречи не будет.