Покори Воробьёвы горы! 2025, 10 класс, задача 5
Квадрат со стороной и квадрат со стороной имеют общую вершину , при этом точка лежит на отрезке . Найдите наибольшее и наименьшее возможные значения площади параллелограмма , если точка лежит на отрезке и делит его в отношении .
Ответ: ; .
Решение. Возможны две разные конфигурации, в зависимости от того, где лежит точка : вне большого квадрата или внутри него.
Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника , площадь которого можно найти после некоторых вычислений (с использованием тригонометрии или без нее).
Однако есть более эффективные способы решения. В случае внешнего касания квадратов площадь равна площади (эти треугольники имеют одинаковое основание и равные высоты, так как ) и, следовательно, равна половине площади большого квадрата. Это значит, что площадь параллелограмма равна площади квадрата , то есть .
Если точка лежит внутри большого квадрата, то на первый взгляд, нахождение площади более громоздко. Однако и здесь есть простые способы.
Например, можно найти отношение высот треугольников и (основания у них одинаковы) - оно равно
Тогда искомая площадь равна
Или же, так как точка лежит на диагонали , то треугольники и равны по площади, а значит,
Тогда площадь параллелограмма равна .
Обратим внимание, что сторона меньшего квадрата могла бы быть использована для решения задачи в первом случае, но в конечном итоге она не влияет на ответ в этом случае. А отношение не участвует в решении задачи в обоих случаях.