Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 6

Сложная

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Заключительный этап, 2025, 9 класс

Назовем словом размах разность между наибольшим и наименьшим числом в наборе чисел . Например, размах набора равен (разность и ).

Дан набор чисел с размахом . Найдите наибольший возможный размах у набора чисел , где

Ответ: .

Решение. Не ограничивая общности, можно считать , , т.к. размах не меняется при сдвиге на одно и то же число. Числа из последовательности при сдвиге изменятся, но таким же образом, все сдвинутся на одно и то же число.

Пусть , .

Случай 1): , тогда

Случай 2): , тогда

Итак, в обоих случаях размах не превосходит .

Легко построить пример , , в котором размах равен как раз .

Похожие задачи

Покори Воробьевы горы! 2026, 9 класс, задача 3

Будем обозначать operatorname{Окр}(x) результат округления числа x до ближайшего целого по стандартным математическим правилам, например, operatorname{Окр}(3,14) = 3, operatorname{Окр}(2,71) = 3, operatorname{Окр}(4,5) = 5. Задана последовательность чисел a_n = n+operatorname{Окр}(sqrt n),

Сложная

Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 4

Дана последовательность чисел, члены которой удовлетворяют соотношению: b_n · b_n-2³=b_n-3 · b_n-1³ при всех n=4,5,6,ldots Найдите b₂₀₂₃, если известно, что b₁=2, b₂=1, b₃=2.

Сложная

Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 7

Дан многочлен P(x), не равный нулю тождественно. Известно, что при всех x выполняется тождество (x-2020) · P(x+1)=(x+2021) · P(x). Сколько корней имеет уравнение P(x)=0?

Сложная

Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 2

Иван Семенович каждый день выезжает в одно и то же время, едет на работу с одной и той же скоростью и приезжает ровно в 9{:}00. Однажды он проспал и выехал на 40 мин. позднее обычного. Чтобы не опоздать, Иван Семенович поехал со скоростью на 60% большей, чем обычно и приехал в 8{:}35. На сколько про

Сложная

Алгебра