Покори Воробьёвы горы! 2023, 9 класс, задача 4

Сложная

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Заключительный этап, 2023, 9 класс

Дана последовательность чисел, члены которой удовлетворяют соотношению:

при всех

Найдите , если известно, что , , .

Ответ: .

Решение: Рассмотрим несколько следующих членов: , , ... - возникает гипотеза, что все члены последовательности являются степенями двойки. Проверим ее, обозначим , и подставим в соотношение, получим при

Это равенство можно преобразовать к виду:

Обозначим , тогда для

Таким образом, расстояния между членами постоянны, следовательно, - арифметическая прогрессия. Поскольку , , то дальше будут идти члены - нечетные числа, получаем .

Заметим, что . Известно, что сумма первых нечетных чисел равна квадрату их количества, поэтому

Прибавив , получаем .

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 7

Дан многочлен P(x), не равный нулю тождественно. Известно, что при всех x выполняется тождество (x-2020) · P(x+1)=(x+2021) · P(x). Сколько корней имеет уравнение P(x)=0?

Сложная

Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 6

Космический зонд, двигаясь прямолинейно с постоянной скоростью, пролетает мимо Марса и каждый день ровно в 12{:}00 замеряет расстояние до этой планеты. Известно, что 1-го февраля расстояние было 5 млн. км, 10-го февраля - 2 млн. км и 13-го февраля - 3 млн. км. Определите, когда зонд пройдет на миним

Сложная

Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 2

Иван Семенович каждый день выезжает в одно и то же время, едет на работу с одной и той же скоростью и приезжает ровно в 9{:}00. Однажды он проспал и выехал на 40 мин. позднее обычного. Чтобы не опоздать, Иван Семенович поехал со скоростью на 60% большей, чем обычно и приехал в 8{:}35. На сколько про

Сложная

Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 3

Сравните числа (100/101) × (102/103) × ldots × (1020/1021) × (1022/1023) и frac5{16}

Сложная

Алгебра