Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 7

Сложная

Источник:

Покори Воробьёвы горы!, Заключительный этап, 2021, 9 класс

Дан многочлен , не равный нулю тождественно. Известно, что при всех выполняется тождество . Сколько корней имеет уравнение ?

Ответ:

Решение.

Сначала докажем две вспомогательные леммы:

Лемма 1. Если - корень , то - тоже корень.

Док-во: Подставим но .

Лемма 2. Если - корень , то - тоже корень.

Док-во: Подставим но .

Подставим в тождество , получим , отсюда является корнем.

Последовательно применяя лемму , получим, что являются корнями.

Докажем, что других нет.

Допустим, что корень не является целым, то по лемме получим, что корнями являются Но многочлен (не тождественно равный нулю) не может иметь бесконечно много корней - противоречие.

Допустим, что - целый и не принадлежит отрезку . Если , то (по лемме ) корнями являются и Если же , то (по лемме ) корнями являются и В любом случае ненулевой многочлен не может иметь бесконечно много корней - противоречие.

Итак, корнями являются целые числа от до включительно, их количество равно .

Похожие задачи

Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 3

Сравните числа (100/101) × (102/103) × ldots × (1020/1021) × (1022/1023) и frac5{16}

Сложная

Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 2

Иван Семенович каждый день выезжает в одно и то же время, едет на работу с одной и той же скоростью и приезжает ровно в 9{:}00. Однажды он проспал и выехал на 40 мин. позднее обычного. Чтобы не опоздать, Иван Семенович поехал со скоростью на 60% большей, чем обычно и приехал в 8{:}35. На сколько про

Сложная

Алгебра

Покори Воробьёвы горы! 2021, 9 класс, задача 6

Космический зонд, двигаясь прямолинейно с постоянной скоростью, пролетает мимо Марса и каждый день ровно в 12{:}00 замеряет расстояние до этой планеты. Известно, что 1-го февраля расстояние было 5 млн. км, 10-го февраля - 2 млн. км и 13-го февраля - 3 млн. км. Определите, когда зонд пройдет на миним

Сложная

Алгебра

Покори Воробьевы горы! 2026, 9 класс, задача 3

Будем обозначать operatorname{Окр}(x) результат округления числа x до ближайшего целого по стандартным математическим правилам, например, operatorname{Окр}(3,14) = 3, operatorname{Окр}(2,71) = 3, operatorname{Окр}(4,5) = 5. Задана последовательность чисел a_n = n+operatorname{Окр}(sqrt n),

Сложная

Алгебра