Покори Воробьёвы горы! 2025, 9 класс, задача 2
Дана доска , в каждой из клеточек которой стоит либо , либо . Никакие единицы не могут стоять в подряд идущих клетках по горизонтали, по вертикали или по диагонали. Какое наибольшее число единиц может быть на доске?
Ответ: .
Решение. Во-первых, единиц возможно (см. рис.):
Докажем, что больше невозможно. Рассмотрим два случая:
- В центре стоит . Тогда в каждом прямоугольнике стоит не более единиц, и поэтому единиц будет не более .
- В центре стоит единица.
Тогда на каждой из двух желтых диагоналей может быть не более единиц и в каждом сером прямоугольнике - не более единиц, и в центральном белом «кресте» тоже не более единиц, не считая центральной. Итого не более .