Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности 6, 7, 8, 9, 10, ldots, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа 8=23, 9=32, 16=42, ldots)?
Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник ABCD с наименьшим периметром, в котором AB=BC=CD и все попарные расстояния между точками A, B, C и D выражаются целыми числами. Чему при этом равен радиус описанной вокруг ABCD окружности?
Очень сложная
Планиметрия
Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 4
Последовательность an задана формулами a1=(4043/2022),qquad an+1=an3-3an2+3an. Найдется ли натуральное число n такое, что |an|le(2022/2021)? Обоснуйте свой ответ.
Очень сложная
Алгебра
Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 5
В треугольной пирамиде SABC в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AC. Боковые грани SAB и SAC перпендикулярны плоскости ABC. Сфера радиусом, равным AC, с центром в точке S делит пирамиду на две части. Найдите объём большей из этих частей, если SA=AB=2.
Очень сложная
Тригонометрия
Покори Воробьёвы горы! 2022, 11 класс, задача 6
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства |x3+2x2+x+a|+|x3-2x2+x-a|2+8x представляет собой на числовой прямой промежуток длиной 1.
Какое число окажется на 2022-м месте в бесконечной последовательности 12, 13, 14, 15, 16, 17, ldots, если в ней удалить все квадраты и кубы каких-либо натуральных чисел (то есть удалить числа 16=42, 25=52, 27=33, ldots)?
Найдите количество натуральных делителей наибольшего целого значения выражения xyz+xy+yz+zx+2023, если сумма неотрицательных чисел x, y и z равна 2022.
Очень сложная
Теория чисел
Покори Воробьёвы горы! 2022, 10 класс, задача 4
Среди всех вписанных четырёхугольников найдите четырёхугольник ABCD с наименьшим периметром, в котором AB=BC=CD и все попарные расстояния между точками A, B, C и D выражаются целыми числами. Чему равна площадь этого четырёхугольника?
Очень сложная
Планиметрия
Покори Воробьёвы горы! 2022, 10 класс, задача 5
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых множество решений неравенства |x3+2x2+x-a|+|x3-2x2+x+a|2-8x представляет собой на числовой прямой промежуток длиной 2.
Работники должны были вскопать несколько одинаковых грядок. В первый день работники вскопали 10 грядок, причем каждый вскопал одинаковое количество (не обязательно целое число грядок). На следующий день некоторые работники заболели COVID-19 и на работу вышло только 7 человек. Пришедшие работали поло
Сложная
Теория чисел
Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 2
Будем обозначать overline{abc} трехзначные числа, записанные цифрами a, b, c. Сколько существует трехзначных чисел, таких, что разность overline{abc}-overline{acb} делится на 72 без остатка?
Сложная
Теория чисел
Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 3
Найдите все пары натуральных чисел (x,y), для которых выполнено равенство (x+y)(x+y+1)+y=2022.
Сложная
Теория чисел
Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 4
Петя строит замок из кубиков. В какой-то момент он изобразил недостроенный замок в трех проекциях: вид спереди, вид сбоку и вид сверху. Какое наименьшее количество кубиков может быть изображено на виде сверху? Рисунок к условию
Сложная
Комбинаторика
Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 5
Учитель выписал на доске квадратное уравнение x2+ax+2022=0. Андрей подставил вместо a по очереди все целые числа от 0 до 99 и решил все из получившихся 100 уравнений. Найдите сумму всех получившихся у Андрея действительных корней этих уравнений. При необходимости округлите ответ до сотых.
Сложная
Алгебра
Покори Воробьёвы горы! 2022, 9 класс, задача 6
К середине XXII века человечество освоило 100 обитаемых планет в других звездных системах. От каждой планеты расходится 40 гиперпространственных порталов, и к каждой планете ведёт 40 порталов от других планет. Все порталы строго односторонние, т.е. если есть портал, ведущий из A в B, то нет портала,
