Покори Воробьёвы горы 2022, 11 класс, задача 5
В треугольной пирамиде в основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой . Боковые грани и перпендикулярны плоскости . Сфера радиусом, равным , с центром в точке делит пирамиду на две части. Найдите объём большей из этих частей, если .
Ответ
Ответ: .
Решение. Из условия задачи вытекает, что ребро пирамиды перпендикулярно основанию .
Обозначим . Пирамида является частью изображённого на рисунке куба с ребром , причём все пирамид, образующих этот куб, располагаются центрально-симметрично относительно общей вершины .
Поэтому искомый объём есть объёма тела, представляющего собой пересечение шара радиуса и данного куба. Это пересечение есть шар без шести шаровых сегментов с высотой шарового сегмента (см. рисунок).
Объём этого тела:
Значит, искомый объём равен
Отметим, что объём всей пирамиды равен
(или, что то же самое, части куба, то есть ). Найденный объём части пирамиды больше, чем объёма пирамиды, так как
Это подтверждает, что мы нашли именно объём большей части пирамиды.