Покори Воробьёвы горы! 2023, 11 класс, задача 5
На сфере расположены точки , , таким образом, что минимальные расстояния по поверхности сферы от точки до точки , от точки до точки и от точки до точки равны , и соответственно. Найдите минимальный возможный при таких условиях периметр треугольника .
Ответ: .
Решение. Сначала необходимо заметить, что кратчайшее расстояние между двумя расположенными на сфере точками по ее поверхности - это длина меньшей дуги, проходящей через эти две точки окружности, центр которой совпадает с центром сферы.
Отсюда сразу следует первая оценка на радиус сферы: он не может быть меньше, чем . В противном случае длина самой большой окружности, расположенной на сфере, меньше, чем , и длина ее меньшей дуги будет меньше, чем , что противоречит условию задачи.
Обозначим радиус сферы за , ее центр обозначим буквой . Рассмотрим две произвольные точки , , пусть длина дуги равна , отметим, что . Из сектора и треугольника имеем
Из этой формулы следует, что периметр треугольника равен
Рассмотрим функцию одной переменной
Ясно, что
Нетрудно доказать, что для всех таких, что , верно неравенство (это аналог того, что для ).
Обратим внимание, что все три слагаемых, входящих в периметр, являются такого сорта функциями, при этом радиус не может быть меньше, чем и, следовательно, величина во всех трех слагаемых принадлежит полуинтервалу . Поэтому периметр треугольника является возрастающей функцией параметра и, следовательно, задача сводится к следующей: найти минимальный радиус сферы, на которой могут быть расположены точки , , , удовлетворяющие данным из условия задачи.
Обоснование того, что минимальный радиус равен , состоит из двух тезисов. Во-первых, на сфере радиуса расположить три точки в соответствии с условием задачи можно: достаточно взять «экватор» сферы, его длина равна , что равно сумме данных в условии расстояний. Берем произвольную точку на этой окружности, проходим по часовой стрелке расстояние , отмечаем точку , проходим еще , отмечаем точку .
Во-вторых, на сфере радиуса, меньшего чем , точки расположить не получится. Чтобы это доказать, проведем аналогию с глобусом. Представим себе, что точка - это северный полюс планеты радиуса . Тогда геометрическим местом точек , кратчайшее расстояние от которых по сфере до точки равно , будет параллель-«экватор», а геометрическим местом точек , кратчайшее расстояние от которых по сфере до точки равно , будет параллель в южном полушарии. Максимальное расстояние между точкой с «экватора» и точкой с «южной» параллели как раз равно и будет достигаться в случае, когда эти точки расположены на противоположных меридианах. Любые меридиональные смещения одной из точек, очевидно, уменьшат расстояние между ними. Попытка уменьшить радиус сферы-планеты приведет к тому, что параллели, на которых лежат точки и , сместятся ближе к южному полюсу, и максимальное из расстояний между точками с этих параллелей (которое по-прежнему достигается в случае их расположения на противоположных меридианах) уже будет менее, чем . Итак, минимально возможный радиус сферы равен , откуда получаем ответ: