Покори Воробьёвы горы 2024, 10 класс, задача 5; 11 класс, задача 6
Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
имеет рациональное решение . Здесь - целая часть числа .
Ответ
Ответ: .
Решение. Положим . Тогда уравнение принимает вид , .
Нужно найти все целочисленные значения , при которых существует рациональное решение .
При решений нет. Рассмотрим вначале случай , т.е. . Тогда поскольку при любом натуральном
то можем считать, что в представлении числа и натуральные. Значит, числа и имеют одни и те же простые делители.
Пусть - общий простой делитель этих чисел, тогда
где и - натуральные. Исключая из левых частей уравнений этой системы, получаем
Значит, - натуральное, а - делитель , т.е. . Поэтому
где и - натуральные и .
Так как
а не делится на , то и , , .
Для отрицательных решение проводится почти аналогично. Положим . Тогда исходное уравнение будет записываться в виде:
Случай очевиден, поскольку решение . Пусть , . Аналогично предыдущему показывается, что в представлении числа и натуральные.
Опять предположив, что - общий простой делитель этих чисел, получим
и также сделаем вывод, что . Поэтому
где и - натуральные и .
Так как
а не делится на , то и или ,
но последнее уравнение не имеет натуральных решений. Поэтому все решения описываются уравнениями: и , решив которые приходим к ответу.