МОШ 2026, 9 класс, задача 3
На столе лежат арбузов массами , , , ..., кг. Алёна и Богдан раскладывают арбузы в четыре пакета; каждый пакет выдерживает кг, а от большего веса рвётся. Они по очереди выбирают арбуз со стола и кладут его в любой из пакетов так, чтобы пакет не порвался. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает Алёна. Кто может обеспечить себе победу, как бы ни играл другой?
(Л. Смирнова)
Ответ: Алёна.
Решение. Покажем, как Алёна может обеспечить себе победу. Первым ходом она положит в один из пакетов арбуз массой кг. Оставшиеся арбузов Алёна мысленно разобьёт на пары , , , , ; сумма в масс в каждой паре кг.
Пусть Богдан своим первым ходом положит арбуз массой в какой-то пакет. Тогда Алена в свой ход положит парный к арбуз (с массой ) в тот же пакет. После такой пары ходов в этот пакет добавилось кг, и теперь в нём либо кг (если до хода Богдана пакет был пустой), либо кг (если в нём был арбуз кг). В любом случае в этот пакет больше не поместится ни один из оставшихся на столе арбузов.
Пусть своим вторым ходом Богдан положит арбуз массой в какой-то из трёх оставшихся пакетов. Тогда Алёна опять положит арбуз с массой в этот же пакет. Аналогично, в этом пакете теперь либо кг, либо кг, и больше в этот пакет ребята ничего не смогут положить.
Аналогично на следующей паре ходов ребята наполнят третий пакет арбузами и , а на следующей — наполнят четвёртый пакет арбузами и .
После этого наступит ход Богдана. Но он не может сделать ход, потому что ни в одном из пакетов не осталось более кг свободного места. Значит, Алёна выигрывает.