МОШ 2026, 9 класс, задача 3
На столе лежат арбузов массами , , , ..., кг. Алёна и Богдан раскладывают арбузы в четыре пакета; каждый пакет выдерживает кг, а от большего веса рвётся. Они по очереди выбирают арбуз со стола и кладут его в любой из пакетов так, чтобы пакет не порвался. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает Алёна. Кто может обеспечить себе победу, как бы ни играл другой?
(Л. Смирнова)
Ответ
Ответ: Алёна.
Решение. Покажем, как Алёна может обеспечить себе победу. Первым ходом она положит в один из пакетов арбуз массой кг. Оставшиеся арбузов Алёна мысленно разобьёт на пары , , , , ; сумма в масс в каждой паре кг.
Пусть Богдан своим первым ходом положит арбуз массой в какой-то пакет. Тогда Алена в свой ход положит парный к арбуз (с массой ) в тот же пакет. После такой пары ходов в этот пакет добавилось кг, и теперь в нём либо кг (если до хода Богдана пакет был пустой), либо кг (если в нём был арбуз кг). В любом случае в этот пакет больше не поместится ни один из оставшихся на столе арбузов.
Пусть своим вторым ходом Богдан положит арбуз массой в какой-то из трёх оставшихся пакетов. Тогда Алёна опять положит арбуз с массой в этот же пакет. Аналогично, в этом пакете теперь либо кг, либо кг, и больше в этот пакет ребята ничего не смогут положить.
Аналогично на следующей паре ходов ребята наполнят третий пакет арбузами и , а на следующей — наполнят четвёртый пакет арбузами и .
После этого наступит ход Богдана. Но он не может сделать ход, потому что ни в одном из пакетов не осталось более кг свободного места. Значит, Алёна выигрывает.