СПбГУ 2026, 9 класс, задача 6
( баллов) школьников сыграли шахматный турнир. Каждый сыграл с каждым ровно одну партию. Оказалось, что любые школьников можно так рассадить за круглым столом, что каждый сидящий за столом обыграл своего соседа слева. Докажите, что из любого школьника можно так выбрать и рассадить их за круглым столом, что каждый сидящий за столом обыграл своего соседа слева.
Решение. Назовем рассадку школьников за круглым столом хорошей, если каждый школьник обыграл своего соседа слева. Покажем, что каждый школьник выиграл не менее партий. Допустим, что какой-то школьник (назовем его Васей) выиграл не более партий. Тогда он не выиграл партии как минимум с школьниками. Возьмем Васю и школьников, которых он не смог обыграть. Для этих человек нет хорошей рассадки, поскольку никого нельзя посадить слева от Васи. Аналогично, устанавливается, что каждый школьник проиграл не менее партий. Всего каждый школьник сыграл партий. Таким образом, каждый школьник не больше одной партии сыграл вничью.
Будем решать задачу от противного. Рассмотрим произвольный набор из школьника и предположим, что из них нельзя выбрать требуемые человек. Среди школьника есть такой (назовем его Колей), который ни с кем из оставшихся не играл вничью, поскольку игравшие вничью разбиваются на пары, а - нечетное число. Рассмотрим хорошую рассадку этих школьников. Назовем их , , , (нумерация по часовой стрелке). Тогда обыграл и обыграл . Кто-то из них обыграл Колю. Можно считать, что это был . Если Коля обыграл , то можно вместо школьников и посадить Колю и получится хорошая рассадка для человек. Поэтому обыграл Колю. Если Коля обыграл , то можно вместо школьников и посадить Колю и снова получится хорошая рассадка для человек. Поэтому также обыграл Колю. Аналогично рассуждая далее получим, что Коля также проиграл школьникам , , , , , , , , , , , . Но он не мог проиграть партий, поскольку выиграл не менее из сыгранных партий. Противоречие.