Ломоносов, 2026, 10 класс, задача 8
Робот Казимир решил создать шедевр. На неограниченном клетчатом поле он закрашивает клетку чёрным, а потом поочерёдно красит ещё квадратиков, каждый раз выбирая клетку под покраску наугад из соседних к уже закрашенным (соседство по диагонали не подходит, нужна как минимум одна общая сторона).
С какой вероятностью своим последним штрихом он превратит «кольцо» в чёрный квадрат (размерами на )?
Ответ:
Решение. Изобразим все возможные промежуточные раскраски, которые не ведут к заведомой неудаче, совмещая вместе те случаи, которые можно перевести друг в друга сдвигом, отражением или поворотом. Цветными стрелками будем отмечать возможность перейти от одного рисунка к другому с вероятностями таких переходов (для подсчёта которых достаточно перебрать возможных новых соседей), а справа от рисунков чёрным цветом напишем суммарную вероятность оказаться на соответствующем шагу в такой конфигурации. Сначала нам нужно получить «кольцо», что сильно ограничивает возможные варианты:
Ну а на последнем шаге вероятность попасть в центр равна , поэтому ответ равен
Критерии проверки: За арифметические ошибки при правильном переборе возможных случаев . За перебор случаев, из которого упущена одна какая-нибудь возможность . КРИТЕРИИ УТОЧНЯЮТСЯ ПО ХОДУ ПРОВЕРКИ.