Ломоносов, 2025, 10 класс, задача 7
В-1 Назовем натуральное число счастливым, если все его цифры можно разбить на две
группы, сумма цифр в каждой из которых одинакова. Примеры: ( + + + = );
( + = + ). Назовем число суперсчастливым, если оно счастливое и следующее за ним
целое число тоже счастливое. Найдите количество суперсчастливых чисел на отрезке $[; ]$.
Ответ: (это числа , , , , , ).
Решение. ) Рассмотрим трехзначные числа. Сумма цифр счастливого числа должна быть
четной (иначе разбиение на две группы с одинаковой суммой цифр невозможно), поэтому суперсчастливое число должно заканчиваться цифрой , так как в ином случае суммы цифр двух
последовательных чисел имеют разную четность. Значит, суперсчастливое трехзначное число
имеет вид , а следующее за ним число состоит из цифр , , . Отметим, что при этом
случай невозможен, так как тогда число не будет счастливым.
Поэтому должны делиться на две группы с одинаковой суммой цифр как цифры , и ,
так и цифры , и . Для первой комбинации цифр или (откуда , ),
или (что невозможно), или . Для второй комбинации .
Одновременно оба числа счастливые только при , . Таким образом, имеется одно
трехзначное суперсчастливое число (за ним следует счастливое число ).
2) Рассмотрим четырехзначные числа. Аналогично предыдущему, суперсчастливое число
должно заканчиваться цифрой . И также оно не может заканчиваться на (тогда сумма
цифр двух последовательных чисел будет иметь разную четность) или на (тогда оно не
будет суперсчастливым). Значит, искомое число имеет вид , где , , .
Следующее за ним число состоит из цифр , , , .
Вначале рассмотрим случай . Должны делиться на две группы с одинаковой суммой
цифр как цифры , , и (назовем их первой комбинацией цифр), так и цифры , , и
(назовем их второй комбинацией).
Для чисел второй комбинации возможны три ситуации (заметим, что не имеет значения, в
какую группу включать ):
Для чисел первой комбинации вариантов гораздо больше, для уменьшения их количества
подставим туда полученные выше три ситуации для второй комбинации.
Если , то комбинация , , , счастливой не является.
Если , то получаются цифры , , и . Возможные варианты:
Получаются суперсчастливые числа (за ним следует ) и (за ним следует ).
Если , то получаются цифры , , и . Возможные варианты:
Получаются суперсчастливые числа (за ним следует ) и (за ним следует ).
Таким образом, в интервале есть суперсчастливых числа: , , и
1649.
- Рассмотрим случай . Должны делиться на две группы с одинаковой суммой цифр как
цифры , , и (первая комбинация цифр), так и цифры , , и (вторая комбинация).
Для чисел второй комбинации возможны три ситуации:
Если , то комбинация , , , счастливой не является.
Если , то получаются цифры , , и . Возможные варианты:
Получаются суперсчастливые числа (за ним следует ) и (за ним следует ).
Если , то получаются цифры , , и . Возможные варианты:
Получаются суперсчастливые числа (за ним следует ) и (за ним следует ).
Таким образом, в интервале есть суперсчастливых числа: , , и
2749.
Всего на отрезке имеется суперсчастливых чисел: , , , , ,
2349.