Ломоносов, 2020, 11 класс, задача 8
Известно, что -- различные натуральные числа, большие , число рационально, и, кроме того,
Найдите минимальное из возможных значений суммы .
Ответ
Ответ: .
Решение. Преобразуем исходное равенство, учитывая, что числа больше и соответствующие логарифмы положительны:
Выполнив замену , , где , , получим
Таким образом, все тройки , удовлетворяющие условию задачи, имеют вид .
Ясно, что : в противном случае из натуральности числа следует, что число лежит в интервале и не является натуральным. Случай противоречит условию задачи. Если , то , где , и тогда тройку натуральных чисел можно записать в виде с натуральным . Сумма для этой тройки будет больше такой же суммы для чисел, входящих в тройку . Значит, .
При целых тройка чисел с минимальной суммой получается при , : это числа , , , и для них сумма равна . Если рациональное, но не целое, то для того, чтобы число было целым, необходимо, чтобы было как минимум восьмой степенью целого числа, не меньшего , и, конечно же, сумма будет больше, чем (т.к. ).